Se tiene el sistema de ecuaciones diferecenciales dadas por $$x_i^\prime =\dfrac{x_i}{2} \left[\sum_{j=1}^4 x_j^2(1 + 3 \omega_j) + 2 -3(1+\omega_i)\right]$$
$$x_i^\prime =\dfrac{x_i}{2} \left[\sum_{j=1}^4 x_j^2(1 + 3 \omega_j) - 1 -3\omega_i)\right]$$Entonces se tiene
· Energía Oscura - Constante cosmológica $x_1=\omega_\Lambda= -1$
· Materia Oscura $x_2=\omega_{DM}=0$
· Materia Ordinaria - Bariones $x_3=\omega_B= 0$
· Materia relativista - Radiacion $x_4=\omega_\gamma=1/3$
Entonces las escuaciones son $$ x_1^\prime=\dfrac{x_1}{2}\left(x_1^2(-2)+x_2^2(1)+x_3^2(1)+x_4^2(2)+2\right) \\ x_1^\prime=\dfrac{x_1}{2}\left(-2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_4^2+2\right) $$
$$ x_2^\prime=\dfrac{x_2}{2}(-2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_4^2 - 1) $$$$ x_3^\prime=\dfrac{x_3}{2}(-2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_4^2 - 1) $$$$ x_4^\prime=\dfrac{x_4}{2}(-2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_4^2 -2) $$Pero para que nos quede un sistema de 3 variables dinámicas sustituimos lo que vale la constricción de Friedman $$x_4^2=1-x_1^2-x_2^2+x_3^2$$
Queda el sistema: $$ x_1^\prime=\dfrac{x_1}{2}\left(-4x_1^2-x_2^2-x_3^2+4\right)\\ x_2^\prime=\dfrac{x_2}{2}\left(-4x_1^2-x_2^2-x_3^2+1\right)\\ x_3^\prime=\dfrac{x_3}{2}\left(-4x_1^2-x_2^2-x_3^2+1\right) $$
In [1]:
using PyPlot
In [2]:
using PyCall
In [3]:
@pyimport numpy as np
In [14]:
fig = figure()
ax = gca(projection="3d")
x, y, z = np.meshgrid(np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3))
u = 0.5.*x.*(-4.0.*x.^2 - y.^2 - z.^2 + 4.)
v = 0.5.*y.*(-4.0.*x.^2 - y.^2 - z.^2 + 1.)
w = 0.5.*z.*(-4.0.*x.^2 - y.^2 - z.^2 + 4.)
quiver(x, y, z, u, v, w, length=0.1)
show()
In [16]:
fig = figure()
ax = gca(projection="3d")
x, y, z = np.meshgrid(np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3))
u = x.*(-4.0.*x - y - z + 4.)
v = y.*(-4.0.*x - y - z + 1.)
w = z.*(-4.0.*x - y - z + 4.)
quiver(x, y, z, u, v, w, length=0.1)
show()
Para obtener este sistema, se utilizaron las ecuaciones: $$ x_i^\prime=x_i\left[-3(1+\omega_i)+\sum_{j=1}^3x_j(1+3\omega_j) + 2\right]\\ x_i^\prime=x_i\left[-3\omega_i-1+\sum_{j=1}^3x_j(1+3\omega_j)\right] $$ con constricción de Friedman igual a: $$ 1=\sum_i^n x_i $$
Además se sustituye la ecuación de la radiación, dada por la constricción de Friedmann; quedando el sistema: $$ x_i^\prime=x_1(1-x_1-4x_2)\\ x_2^\prime=x_2(4-x_1-4x_2) $$
In [18]:
x₁,x₂= np.meshgrid([-1:0.1:1],[-1:0.1:1]);
x₁′= x₁.*(1.0-x₁-4.0x₂);
x₂′= x₂.*(4.0-x₁-4.0x₂);
@time streamplot(x₁, x₂, x₁′, x₂′)
Out[18]:
In [22]:
x₁,x₂= np.meshgrid([-0.1:0.1:1.1],[-0.1:0.1:1.1]);
x₁′= x₁.*(1.0-x₁-4.0x₂);
x₂′= x₂.*(4.0-x₁-4.0x₂);
@time quiver(x₁, x₂, x₁′, x₂′)
Out[22]:
Ahora para una constricción de la forma $\sum_ix_i^2=1$ $$ \frac{x_i^\prime}{2}=x_1(1-x_1^2-4x_2^2)\\ \frac{x_2^\prime}{2}=x_2(4-x_1^2-4x_2^2) $$
In [25]:
x₁,x₂= np.meshgrid([-1.2:0.1:1.2],[-1.2:0.1:1.2]);
x₁′= 0.5x₁.*(1.0-x₁.^2 - 4.0x₂.^2);
x₂′= 0.5x₂.*(4.0-x₁.^2 - 4.0x₂.^2);
@time streamplot(x₁, x₂, x₁′, x₂′)
Out[25]:
In [26]:
x₁,x₂= np.meshgrid([-1.2:0.1:1.2],[-1.2:0.1:1.2]);
x₁′= 0.5x₁.*(1.0-x₁.^2 - 4.0x₂.^2);
x₂′= 0.5x₂.*(4.0-x₁.^2 - 4.0x₂.^2);
@time quiver(x₁, x₂, x₁′, x₂′)
Out[26]:
Se gráfica el sistema sin constricción:
In [27]:
fig = figure()
ax = gca(projection="3d")
x₁, x₂, x₃ = np.meshgrid(np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3))
x₁′ = x₁.*(x₁ - 2.0x₂ +2.0x₃ - 1.)
x₂′ = x₂.*(x₁ - 2.0x₂ +2.0x₃ + 2.)
x₃′ = x₃.*(x₁- 2.0x₂ +2.0x₃ - 2.)
quiver(x₁, x₂, x₃, x₁′, x₂′, x₃′, length=0.1)
show()
Se gráfica imponiendo la constricción la última variable:
In [28]:
fig = figure()
ax = gca(projection="3d")
x, y, z = np.meshgrid(np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3),
np.arange(-1, 1, 0.3))
x′= x.*(1.0-x-4.0y);
y′= y.*(4.0-x-4.0y);
z′= 1 - x - y
quiver(x, y, z, x′, y′, z′, length=0.1)
show()
In [ ]: